Пусть  — дан­ный четырёхугольник,  — се­ре­ди­на сто­ро­ны  — се­ре­ди­на сто­ро­ны  — се­ре­ди­на сто­ро­ны  — се­ре­ди­на сто­ро­ны . Проведём диа­го­на­ли  и  и от­рез­ки  и , по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны сто­рон четырёхугольника. Тогда, по свой­ству сред­ней линии треугольника, от­рез­ки  и  па­рал­лель­ны диа­го­на­ли  и равны её половине, а от­рез­ки  и  па­рал­лель­ны диа­го­на­ли  и равны её половине. По­это­му  параллелограмм. А так как, по усло­вию задачи, его диа­го­на­ли  и  равны, то  — прямоугольник, и угол  — прямой. От­сю­да следует, что и угол между диа­го­на­ля­ми  и  тоже прямой, и, следовательно, пло­щадь четырёхугольника  будет равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диагоналей, то есть .

Из тре­уголь­ни­ка  най­дем 

 — биссектриса, следовательно, 

Треугольник  — прямоугольный, сле­до­ва­тель­но:

Найдём угол 

Пусть в тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния BC = 9 , AD =15 . Обо­зна­чим се­ре­ди­ну диа­го­на­ли AC через N , се­ре­ди­ну диа­го­на­ли BD через M , а се­ре­ди­ну сто­ро­ны CD через K.

Тогда NK — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ACD, MK — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BCD. Значит, точки N, M и K лежат на одной прямой. Длина средней линии треугольника равна половине основания, поэтому NM = NK−MK = 7,5 − 4,5 = 3.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вто­рой катет равен . С одной стороны, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния катетов, а с дру­гой стороны, она равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ги­по­те­ну­зы на высоту, проведённую к ней. Следовательно, ис­ко­мая вы­со­та равна  .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вто­рой катет равен . С одной стороны, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния катетов, а с дру­гой стороны, она равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ги­по­те­ну­зы на высоту, проведённую к ней. Следовательно, ис­ко­мая вы­со­та равна  .

Пусть    — длина сред­ней линии. Проведём вы­со­ту  и проведём пря­мую  па­рал­лель­ную  Рас­смот­рим четырёхугольник    следовательно,  — параллелограмм, от­ку­да   Рас­смот­рим тре­уголь­ник  Пусть  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка  Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка  по фор­му­ле Герона:

Выразим пло­щадь тре­уголь­ни­ка  как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния  на вы­со­ту  от­ку­да найдём 

Площадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию высоты на по­лу­сум­му длин оснований: 

Поскольку четырёхугольник  впи­сан в окружность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, следовательно,  Углы  и  — смежные, следовательно,  Из приведённых равенств, получаем, что  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  угол  — общий, углы  и  равны, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да  Ис­поль­зуя ра­вен­ство  найдём 

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , они прямоугольные, катет  — общий,  равно  следовательно, эти тре­уголь­ники равны по двум катетам, значит,  Вспомним, что  — медиана:

Проведём ра­ди­ус  в точку касания. Так как  — радиус, а  — касательная, то Угол  — центральный, сле­до­ва­тель­но он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опирается,  Угол  — развёрнутый, сле­до­ва­тель­но 

Из тре­уголь­ни­ка