Информатика (Программирование)
На плоскости задано множество точек с целочисленными координатами. Необходимо найти минимально возможную площадь невырожденного (то есть имеющего ненулевую площадь) треугольника, одна вершина которого расположена в начале координат, а две другие лежат на биссектрисах углов, образованных осями координат, и при этом ринадлежат заданному множеству. Если такого треугольника не существует, необходимо вывести соответствующее сообщение.
Напишите эффективную по времени и по используемой памяти программу для решения этой задачи. Программа считается эффективной по времени, если при увеличении количества точек в k раз время работы возрастает не более чем в k раз. Программа считается эффективной по памяти, если размер памяти для хранения всех необходимых данных не зависит от количества точек и не превышает 1 килобайта. Перед текстом программы кратко опишите алгоритм решения и укажите язык программирования и его версию.
Входные данные
В первой строке задаётся N — количество точек в заданном множестве. Каждая из следующих строк содержит два целых числа — координаты очередной точки.
Пример входных данных:
3
6 6
-8 8
9 7
Выходные данные
Если искомый треугольник существует, программа должна напечатать одно число: минимально возможную площадь треугольника, удовлетворяющего условиям. Если искомый треугольник не существует, программа должна напечатать сообщение: «Треугольник не существует».
Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных: 48
Ответ
Биссектрисами углов, образованных осями координат, служат две прямые: 
и 
Очевидно, что вершины невырожденного треугольника должны лежать на разных биссектрисах, их координаты должны иметь вид (a, a) и (b, –b). Площадь такого треугольника равна |a| · |b|. Эта площадь будет минимальной при минимально возможных ненулевых значениях |a| и |b|.
Пример правильной программы на Паскале
program P27;
var
N: integer; {количество точек}
x,y: integer; {координаты очередной точки}
amin, bmin: integer;
s: integer; {площадь}
i: integer;
begin
readln(N);
amin:=0; bmin:=0;
for i:=1 to N do begin
readln(x,y);
if (x=y) and (x<>0) and
((amin=0) or (abs(x)<amin)) then amin:=abs(x);
if (x=-y) and (x<>0) and
((bmin=0) or (abs(x)<bmin)) then bmin:=abs(x);
end;
s:=amin*bmin;
if s=0 then writeln('Треугольник не существует')
else writeln(s)
end.
Пример правильной, но неэффективной программы на языке Паскаль.
var points: array[1..10000, 1..2] of integer; {исходные данные} N: integer; {количество точек} mins: integer; {минимальная площадь} a, b: integer; i, j: integer; begin readln(N); mins := MaxInt; a := 0; b := 0; for i := 1 to N do read(points[i, 1], points[i, 2]); for i := 1 to N do for j := 1 to N do begin if (points[i, 1] = points[i, 2]) and (points[i, 1] <> 0) then a := abs(points[i, 1]); if (points[j, 1] = -points[j, 2]) and (points[j, 1] <> 0) then b := abs(points[j, 1]); if (a*b < mins) and (a * b <> 0) then mins := a*b; end; if mins = MaxInt then writeln('Треугольник не существует') else writeln(mins); end.