Последовательно будем преобразовывать данное выражение: 

Это вычитание  в системе счисления с основанием 5 будет выглядеть как девять четвёрок, тройка, четвёрка и один ноль. А 5¹⁶ как одна единица и 16 нулей.

Таким образом, всего 10 четвёрок.

Приведем элементы уравнения к десятичному виду:

35₆ = 3·6¹ + 5·6⁰ = 23₁₀;

35₇ = 3·7¹ + 5·7⁰ = 26₁₀.

Запишем получившееся уравнение: 23₁₀ + x = 26₁₀ ⇔ x = 3₁₀.

Преобразуем выражение: 4⁵¹¹ + 2⁵¹¹ − 511 = 2¹⁰²² + 2⁵¹¹ − 2⁹ + 1.

Значит, в двоичной записи есть единица, нам нужно занять из 512 позиции единицу, чтобы вычесть 2⁹, тогда будет единица с 511 по 10 позицию. Всего таких позиций 502. Также присутствует единица на последнем и на 1022 месте. То есть всего их будет 502 + 1 + 1 = 504.

Ответ: 504.

Преобразуем выражение:

Число 2⁴⁰³² в двоичной записи записывается как единица и 4032 нуля. Добавив число 2²⁰¹⁵, получаем 100...00100...000 (единица, 2016 нулей, единица, 2015 нулей, всего 4033 разрядных цифр). Если вычесть из этого числа 2³ = 1000₂, то число примет вид 100...001...1000. В полученном числе единица, 2017 нулей, 2012 единиц и три нуля. После прибавления единицы последний ноль станет единицей, то есть в числе 2014 единиц.

Пусть равенство 12 · 13 = 222 записано в системе счисления с основанием n. Тогда можем составить уравнение  или  Корни уравнения 4 и −1. Поскольку n — натуральное число, то n = 4.

Составим уравнение: 110_n = 1 · n² + 1 · n¹ + 0 · n⁰ = 12₁₀, где n— основание этой системы счисления. Уравнение n² + n − 12 = 0 имеет два корня: −4 и 3. Таким образом, основание искомой системы счисления — 3.

Составим уравнение: 30_n = 3 · n¹ + 0 · n⁰ = 12₁₀, где n— основание этой системы счисления. Откуда n = 4.

Ответ: 4.

Так как число 75 в системе счисления с основанием  кончается на 13, то число 75 в десятичной системе счисления при делении на  должно давать остаток 3 (т. е.   - любое целое неотрицательное число,  - основание искомой системы счисления) и частное от этого деления  должно давать остаток 1 при делении на  (т. е. ,  - любое целое неотрицательное число). Следовательно,   где 

Иначе говоря,  должно быть кратным . Отбросим сразу те  которые при вычитании из 72 дают простые числа, а также те, квадраты которых больше 72: 1, 5, 9, 10, и так далее до бесконечности.

Но при этом 72 тоже является решением данной задачи, так как 72 – особый случай, ведь

Итого остается еще 2, 3, 4, 6, 7 и 8. Из них подходит только 8.

Ответ: 8, 72.

Представим число 4 в виде суммы степеней числа 3: 4 = 1 · 3¹ + 1 · 3⁰. Последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления —  коэффициент при тройке в нулевой степени.